La paradoja de Galileo

Con esta breve reseña histórica pretendo abrir un bloque de posts dedicados a paradojas. En términos generales, una paradoja es un resultado que parece ser cierto a pesar de que contradice nuestros principios. Por ello, las paradojas tienen una importante componente de reto mental, ya que nos obligan a cuestionar nuestras creencias. El pensamiento científico, a lo largo de su historia, se ha enfrentado a diversas paradojas, que nos han hecho rectificar y evolucionar, es decir, aprender.


Corría el año 1636 cuando Galileo Galilei, recluido de por vida en su casa de Florencia debido a sus conocidas ideas copernicanas, hace publicar su último libro justo antes de perder la vista: "Discursos sobre dos nuevas ciencias". Estas ciencias a las que se refiere y que pretende postular son la mecánica y la resistencia de los materiales, que sin bien no ciencias completas, hoy son campos fundamentales de la Física moderna. En este trabajo, Galileo hace algunas afirmaciones acerca del conjunto infinito de los números naturales que resultan ciertamente paradójicas. Podemos resumirlas en las 2 afirmaciones siguientes:

1. Existen números naturales que son cuadrados perfectos y otros que no, por lo que los cuadrados perfectos son un subconjunto, una parte del conjunto de los números naturales.
   
   
2. Por cada cuadrado perfecto hay exactamente un número que es su raíz cuadrada, y por cada número hay exactamente otro que es su cuadrado, así que no puede haber más de un tipo que de otro.
   
   

La paradoja radica en que estas 2 afirmaciones, que entonces y ahora podemos convencernos de que son absolutamente ciertas, cuestionan el principio básico de la Teoría de Conjuntos de que el todo es mayor que sus partes, porque en este caso hay una parte (el conjunto de los cuadrados perfectos) que sería igual al todo (los números naturales) aun cuando parece imposible al haber elementos en el todo que no están en la parte (los no-cuadrados perfectos).

¿Qué aprendió Galileo de esto? Llegó a la conclusión de que las relaciones de orden (menor, mayor e igual) sólo tienen sentido aplicadas a conjuntos finitos.

Cierto es que en la época de Galileo la Teoría de Conjuntos no estaba todavía desarrollada, y la paradoja ponía en entredicho más bien a la "intuición" de los hombres de ciencia. En el siglo XIX, el gran Georg Cantor desarrolló los fundamentos de la Teoría de Conjuntos que conocemos hoy en día, utilizando en parte las ideas de Galileo. ¿Qué aprendió Cantor de la paradoja de Galileo? Descubrió que las afirmaciones de Galileo eran válidas para el conjunto de los números enteros y el de los racionales. La paradoja le impulsó a investigar las propiedades de los conjuntos infinitos (sin duda nadie los ha estudiado como él) y llegó a la conclusión de que algunos conjuntos infinitos eran mayores que otros.


La paradoja de Galileo, una observación sencilla que aportó su granito de arena al impulso de la investigación y progreso en la Ciencia. Así son las paradojas.