El otro día leí en Gaussianos que
Además dicen que es la única suma de cuadrados de los n primeros naturales consecutivos que da como resultado un cuadrado perfecto. Como dicen ellos, una curiosidad curiosa.
El caso es que a mí me pica la curiosidad y en estos casos suelo preguntarme: ¿será cierto? Así que vamos a intentar demostrarlo. Para ello, lo primero es encontrar una fórmula que nos diga cuál es la suma de los n primeros números enteros. Una fórmula f(n) que para los valores de n 0,1,2,3,... nos dé los resultados 1,5,14,30,...
No es la primera vez que explico un método para calcular sumas, aunque aquél habría que generalizarlo un poco para adaptarlo a este problema (como bien entenderán quienes lo hayan utilizado para resolver el problema difícil de aquellos acertijos que un día puse). Para este tipo de problemas, existe otro método más útil, al que yo llamo, porque otros lo han bautizado antes, método de diferencias finitas.
Vamos a intentar explicarlo de la manera más sencilla posible. Yo intento "deducir" una fórmula polinómica para la sucesión:
1 5 14 30 55 91 ...
Lo que voy a hacer es restar a cada número el anterior; en este caso 5-1, 14-5, 30-14,... para conseguir una nueva sucesión, que evidentemente será la de los cuadrados perfectos, pues sumándolos es como creé la anterior:
4 9 16 25 36 ...
Y continúo procediendo de la misma manera hasta llegar a una sucesión con todos los términos iguales:
1 5 14 30 55 91
4 9 16 25 36
5 7 9 11
2 2 2
Como vemos, hemos necesitado 3 pasos para llegar a la secuencia de números iguales. Esto quiero decir que nuestra función polinómica va a ser de grado 3. Ahora para construirla utilizaremos sólo los primeros coeficientes obtenidos en las anteriores sucesiones, es decir, los números 1, 4, 5 y 2, y en ese orden.
Si a estos coeficientes los llamamos a, b, c, d, etc. (aquí tenemos 4 pero podrían ser más), se verifica (este es el verdadero método), que la función buscada debe ser:
a + b·n + c·n·(n-1)/2 + d·n·(n-1)·(n-2)/(2·3) + ...
donde el k-ésimo término de la suma es el correspondiente coeficiente multiplicado por n·(n-1)·(n-2)·... [k-1 factores] y dividido por el factorial de (k-1). De este modo es "fácil de recordar".
Aplicado a nuestro problema concreto, tenemos que a=1, b=4, c=5 y d=2, por lo que:
f(n) = 1 + 4n + 5n(n-1)/2 + n(n-1)(n-2)/3 = ... = (2n^3 + 9n^2 + 13n + 6)/6
Si aplicamos la fórmula obtenida (tened en cuenta que el primer valor de n es 0), comprobamos que:
f(0) = 1
f(1) = 5
f(2) = 14
f(3) = 30
...
La suma de los 24 primeros números enteros debe ser f(23) = 4900, que efectivamente es el cuadrado de 70, con lo que hemos verificado la igualdad sin hacer todos los cuadrados y las sumas (apenas hemos hecho unas restas para sacar la fórmula).
Lo que nos quedaría ahora es demostrar que f(23) es el único valor cuadrado perfecto que toma la función f así definida. ¿A alguien se le ocurre cómo?
Además dicen que es la única suma de cuadrados de los n primeros naturales consecutivos que da como resultado un cuadrado perfecto. Como dicen ellos, una curiosidad curiosa.
El caso es que a mí me pica la curiosidad y en estos casos suelo preguntarme: ¿será cierto? Así que vamos a intentar demostrarlo. Para ello, lo primero es encontrar una fórmula que nos diga cuál es la suma de los n primeros números enteros. Una fórmula f(n) que para los valores de n 0,1,2,3,... nos dé los resultados 1,5,14,30,...
No es la primera vez que explico un método para calcular sumas, aunque aquél habría que generalizarlo un poco para adaptarlo a este problema (como bien entenderán quienes lo hayan utilizado para resolver el problema difícil de aquellos acertijos que un día puse). Para este tipo de problemas, existe otro método más útil, al que yo llamo, porque otros lo han bautizado antes, método de diferencias finitas.
Vamos a intentar explicarlo de la manera más sencilla posible. Yo intento "deducir" una fórmula polinómica para la sucesión:
1 5 14 30 55 91 ...
Lo que voy a hacer es restar a cada número el anterior; en este caso 5-1, 14-5, 30-14,... para conseguir una nueva sucesión, que evidentemente será la de los cuadrados perfectos, pues sumándolos es como creé la anterior:
4 9 16 25 36 ...
Y continúo procediendo de la misma manera hasta llegar a una sucesión con todos los términos iguales:
1 5 14 30 55 91
4 9 16 25 36
5 7 9 11
2 2 2
Como vemos, hemos necesitado 3 pasos para llegar a la secuencia de números iguales. Esto quiero decir que nuestra función polinómica va a ser de grado 3. Ahora para construirla utilizaremos sólo los primeros coeficientes obtenidos en las anteriores sucesiones, es decir, los números 1, 4, 5 y 2, y en ese orden.
Si a estos coeficientes los llamamos a, b, c, d, etc. (aquí tenemos 4 pero podrían ser más), se verifica (este es el verdadero método), que la función buscada debe ser:
a + b·n + c·n·(n-1)/2 + d·n·(n-1)·(n-2)/(2·3) + ...
donde el k-ésimo término de la suma es el correspondiente coeficiente multiplicado por n·(n-1)·(n-2)·... [k-1 factores] y dividido por el factorial de (k-1). De este modo es "fácil de recordar".
Aplicado a nuestro problema concreto, tenemos que a=1, b=4, c=5 y d=2, por lo que:
f(n) = 1 + 4n + 5n(n-1)/2 + n(n-1)(n-2)/3 = ... = (2n^3 + 9n^2 + 13n + 6)/6
Si aplicamos la fórmula obtenida (tened en cuenta que el primer valor de n es 0), comprobamos que:
f(0) = 1
f(1) = 5
f(2) = 14
f(3) = 30
...
La suma de los 24 primeros números enteros debe ser f(23) = 4900, que efectivamente es el cuadrado de 70, con lo que hemos verificado la igualdad sin hacer todos los cuadrados y las sumas (apenas hemos hecho unas restas para sacar la fórmula).
Lo que nos quedaría ahora es demostrar que f(23) es el único valor cuadrado perfecto que toma la función f así definida. ¿A alguien se le ocurre cómo?
Si llevamos el proceso al infinito, ¿qué proporción del triángulo original habremos eliminado?
da como resultado 
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