Calcular fechas (I)

Habitualmente un año tiene 365 días. Como mucho, a veces tiene 366. Salvo la excepción del 29 de Febrero, los días del año son siempre los mismos un año y otro, y aún así muchas veces nos cuesta trabajar mentalmente con las fechas: calcular a qué día de la semana cae tal fecha, o cuántos días hay entre dos fechas dadas.

El problema es que nos liamos con los meses. Cada mes tiene su número de días y, por si fuera poco, no se alternan siempre de la misma forma, pues hay dos meses de 31 días seguidos en verano, y otros dos en invierno, por no hablar del original Febrero...

Pero, insisto, los 365 días del año son los mismos siempre, y los podemos enumerar de 1 a 365. Los meses no son más que etiquetas. Enero es la manera de etiquetar a los 31 primeros días, Febrero a los días del 32 al 59, y así sucesivamente... Creo que tener esto presente es fundamental para no liarse cuando hay que hacer cálculos con fechas.

De hecho, para hacer cálculos, yo aconsejo usar estas etiquetas llamadas meses como marcadores de inicio, pero no de fin. Es decir, que Enero empiece el día 1 del año, Febrero el 32, Marzo el 60, etc... Pero no tienen por qué finalizar cuando otro ha empezado. Así, por ejemplo, al 10 de Febrero podemos también llamarle 41 de Enero.

Este simple "cambio de mentalidad" (para quien no pensase ya así), puede hacer que algunos cálculos sean realmente obvios, teniendo presente que para pasar de una "etiqueta" (mes) a la siguiente hay que restar el número de días de la primera (de Enero a Febrero, 31).

Por ejemplo, imaginemos que queremos saber qué día habrán pasado 51 días desde el 19 de Noviembre. Cuando era más joven, yo habría calculado cuántos días quedan de noviembre, y habría ido pillando días de los meses siguientes, pero... ¿para qué liarse? Si al 19 de Noviembre le sumamos 51 días, tenemos evidentemente el 70 de Noviembre.

¿Que hay que ponerlo en función de otra "etiqueta" más legible? Sencillo: 70 de Noviembre es lo mismo que 40 de Diciembre (le quitamos los 30 de Noviembre) y esto a su vez es 9 de Enero (quitando 31 de Diciembre). Así que el 9 de Enero. ¡Anda, pero si es mañana!

Planilandia

En 1884 Edwin Abbott Abbott escribía "Planilandia, un romance en muchas dimensiones", novela aún popular hoy en día entre estudiantes de matemáticas, informática, física y algún otro tipo de frikis. La historia es narrada en primera persona por un cuadrado que, a veces en sueños a veces no, viaja a mundos de dimensiones diferentes a la suya (él vive en planilandia, en 2 dimensiones). Más allá de lo absurdo que pueda resultar el argumento, las disquisiciones metafísicas del cuadrado acerca de los mundos de menos y más dimensiones que el suyo presentan un claro paralelismo con las que podemos tener en nuestro mundo de 3 dimensiones; la metáfora está servida, y es muy útil para ayudarnos a entender mejor esto de las 3 dimensiones.

Hace algún tiempo, el Doctor Quantum nos explicaba el experimento de la doble ranura. Veamos qué nos puede contar acerca de Planilandia:

Diferencias finitas

El otro día leí en Gaussianos que



Además dicen que es la única suma de cuadrados de los n primeros naturales consecutivos que da como resultado un cuadrado perfecto. Como dicen ellos, una curiosidad curiosa.

El caso es que a mí me pica la curiosidad y en estos casos suelo preguntarme: ¿será cierto? Así que vamos a intentar demostrarlo. Para ello, lo primero es encontrar una fórmula que nos diga cuál es la suma de los n primeros números enteros. Una fórmula f(n) que para los valores de n 0,1,2,3,... nos dé los resultados 1,5,14,30,...

No es la primera vez que explico un método para calcular sumas, aunque aquél habría que generalizarlo un poco para adaptarlo a este problema (como bien entenderán quienes lo hayan utilizado para resolver el problema difícil de aquellos acertijos que un día puse). Para este tipo de problemas, existe otro método más útil, al que yo llamo, porque otros lo han bautizado antes, método de diferencias finitas.

Vamos a intentar explicarlo de la manera más sencilla posible. Yo intento "deducir" una fórmula polinómica para la sucesión:
1 5 14 30 55 91 ...

Lo que voy a hacer es restar a cada número el anterior; en este caso 5-1, 14-5, 30-14,... para conseguir una nueva sucesión, que evidentemente será la de los cuadrados perfectos, pues sumándolos es como creé la anterior:
4 9 16 25 36 ...

Y continúo procediendo de la misma manera hasta llegar a una sucesión con todos los términos iguales:

1 5 14 30 55 91
4 9 16 25 36
5 7 9 11
2 2 2

Como vemos, hemos necesitado 3 pasos para llegar a la secuencia de números iguales. Esto quiero decir que nuestra función polinómica va a ser de grado 3. Ahora para construirla utilizaremos sólo los primeros coeficientes obtenidos en las anteriores sucesiones, es decir, los números 1, 4, 5 y 2, y en ese orden.

Si a estos coeficientes los llamamos a, b, c, d, etc. (aquí tenemos 4 pero podrían ser más), se verifica (este es el verdadero método), que la función buscada debe ser:

a + b·n + c·n·(n-1)/2 + d·n·(n-1)·(n-2)/(2·3) + ...

donde el k-ésimo término de la suma es el correspondiente coeficiente multiplicado por n·(n-1)·(n-2)·... [k-1 factores] y dividido por el factorial de (k-1). De este modo es "fácil de recordar".

Aplicado a nuestro problema concreto, tenemos que a=1, b=4, c=5 y d=2, por lo que:

f(n) = 1 + 4n + 5n(n-1)/2 + n(n-1)(n-2)/3 = ... = (2n^3 + 9n^2 + 13n + 6)/6

Si aplicamos la fórmula obtenida (tened en cuenta que el primer valor de n es 0), comprobamos que:

f(0) = 1
f(1) = 5
f(2) = 14
f(3) = 30
...

La suma de los 24 primeros números enteros debe ser f(23) = 4900, que efectivamente es el cuadrado de 70, con lo que hemos verificado la igualdad sin hacer todos los cuadrados y las sumas (apenas hemos hecho unas restas para sacar la fórmula).

Lo que nos quedaría ahora es demostrar que f(23) es el único valor cuadrado perfecto que toma la función f así definida. ¿A alguien se le ocurre cómo?

Mi método para sumas infinitas

Hace unos días, hablando con un colega acerca del fractal de copo de nieve, recordé que se trata de una figura de área finita y perímetro infinito (paradójicamente), y me pregunté cuál será su área. Haciendo unos sencillos cálculos me topé con la suma infinita:

A=1+3/9+12/81+48/729+...

suponiendo que el área del triángulo original es 1. En esa serie cada término a partir del tercero es exactamente 4/9 del término anterior. En esta página podéis ver un método (de hecho el típico) para resolver la suma, pero yo aquí voy a explicar el mío, que aunque no siempre es aplicable, cuando lo es resulta bastante inmediato.

Fijémonos que cada término se puede obtener del anterior de la misma manera, excepto con el primer par, por lo que voy a separar el primer sumando.

A=1+S

donde S=3/9+12/81+48/729+... es la suma que queremos calcular. Como es una suma de infinitos términos y cada uno se obtiene del anterior podemos escribir fácilmente la suma de todos menos el primero a partir de la suma completa:

12/81+48/729+... = (4/9) x (3/9+12/81+48/729+...)

Y aquí está el truco, nos aprovechamos del infinito para establecer que S=3/9+(4/9) x S

Nos queda una sencilla ecuación de la que despejamos S=0'6, por lo que A=1'6, es decir, el área del fractal del copo de nieve es 1'6 veces la del triángulo original.


Probemos nuestro método con otra suma bien conocida:

S=1/2+1/4+1/8+1/16+...

Todos sabemos, o deberíamos saber, que esa suma da como resultado 1, cosa que se puede demostrar de muchas maneras (interesante la refutación de la paradoja de la piedra de Zenón). Nosotros vamos a usar nuestro método. Recordemos: se trata de descartar el primer sumando y escribir los demás en función de la propia suma completa. Veamos... la suma S es 1/2 más... la propia suma S dividida entre 2. Así de sencillo:

S=1/2+S/2

De ahí se deduce, evidentemente, que S=1


Un último ejemplo, para acabar. Según la Wikipedia, el número áureo se puede obtener de la siguiente fracción continua:

¿Será verdad? También aquí podemos utilizar nuestro método, pues la suma S es igual a uno más uno partido por... la propia suma:

S=1+1/S

Resolviendo la ecuación de segundo grado resultante, efectivamente obtenemos que S=(raiz(5)+1)/2, que es la definición de número áureo.


Espero que os pueda servir de algo "mi método".

Mathematical pi

Genial este vídeo/canción dedicado a nuestro queridísimo pi:


Pero el vídeo anterior sólo llega hasta el primer estribillo. Si os ha gustado, en la web de Antoni "Ton" Chan podéis encontrar la canción completa en mp3, así como su letra.

Vía: Microsiervos

La paradoja de Galileo

Con esta breve reseña histórica pretendo abrir un bloque de posts dedicados a paradojas. En términos generales, una paradoja es un resultado que parece ser cierto a pesar de que contradice nuestros principios. Por ello, las paradojas tienen una importante componente de reto mental, ya que nos obligan a cuestionar nuestras creencias. El pensamiento científico, a lo largo de su historia, se ha enfrentado a diversas paradojas, que nos han hecho rectificar y evolucionar, es decir, aprender.


Corría el año 1636 cuando Galileo Galilei, recluido de por vida en su casa de Florencia debido a sus conocidas ideas copernicanas, hace publicar su último libro justo antes de perder la vista: "Discursos sobre dos nuevas ciencias". Estas ciencias a las que se refiere y que pretende postular son la mecánica y la resistencia de los materiales, que sin bien no ciencias completas, hoy son campos fundamentales de la Física moderna. En este trabajo, Galileo hace algunas afirmaciones acerca del conjunto infinito de los números naturales que resultan ciertamente paradójicas. Podemos resumirlas en las 2 afirmaciones siguientes:

1. Existen números naturales que son cuadrados perfectos y otros que no, por lo que los cuadrados perfectos son un subconjunto, una parte del conjunto de los números naturales.
   
   
2. Por cada cuadrado perfecto hay exactamente un número que es su raíz cuadrada, y por cada número hay exactamente otro que es su cuadrado, así que no puede haber más de un tipo que de otro.
   
   

La paradoja radica en que estas 2 afirmaciones, que entonces y ahora podemos convencernos de que son absolutamente ciertas, cuestionan el principio básico de la Teoría de Conjuntos de que el todo es mayor que sus partes, porque en este caso hay una parte (el conjunto de los cuadrados perfectos) que sería igual al todo (los números naturales) aun cuando parece imposible al haber elementos en el todo que no están en la parte (los no-cuadrados perfectos).

¿Qué aprendió Galileo de esto? Llegó a la conclusión de que las relaciones de orden (menor, mayor e igual) sólo tienen sentido aplicadas a conjuntos finitos.

Cierto es que en la época de Galileo la Teoría de Conjuntos no estaba todavía desarrollada, y la paradoja ponía en entredicho más bien a la "intuición" de los hombres de ciencia. En el siglo XIX, el gran Georg Cantor desarrolló los fundamentos de la Teoría de Conjuntos que conocemos hoy en día, utilizando en parte las ideas de Galileo. ¿Qué aprendió Cantor de la paradoja de Galileo? Descubrió que las afirmaciones de Galileo eran válidas para el conjunto de los números enteros y el de los racionales. La paradoja le impulsó a investigar las propiedades de los conjuntos infinitos (sin duda nadie los ha estudiado como él) y llegó a la conclusión de que algunos conjuntos infinitos eran mayores que otros.


La paradoja de Galileo, una observación sencilla que aportó su granito de arena al impulso de la investigación y progreso en la Ciencia. Así son las paradojas.

El principio del palomar

Me gustaría inaugurar oficialmente el blog con este pequeño homenaje a uno de los principios matemáticos más útiles que conozco: el principio del palomar.

En su versión original, viene a decir que si tienes un número n de palomas a distribuir entre un número m de palomares, y resulta que tienes más palomas que palomares (n > m), entonces necesariamente vas a tener algún palomar con más de una paloma.

Bajo su apariencia de perogrullada, este teoremilla puede resultar muy útil en ocasiones para probar resultados a primera vista no tan triviales. Aquí van 3 ejemplillos/anécdotas:

1. Era yo muy niño cuando leí por primera vez "¿Cómo se llama este libro?", de Raymond Smullyan, un libro de "lógica informal" muy recomendable, y ya en el primer capítulo un pequeño acertijo consistía en averiguar si necesariamente tenía que haber 2 habitantes en Nueva York con el mismo número de pelos en la cabeza. No hace falta ser un loco de la geografía para saber que Nueva York tiene más habitantes (más de 8 millones) que pelos en la cabeza puede tener cada uno (unos 150.000). En virtud del principio del palomar, seguro que hay dos con el mismo número de pelos en la cabeza.
   
   
2. Era yo algo más mayor, cuando en el año 99 participé en mi primera Olimpiada Matemática Española, celebrada en Granada. En la fase nacional me tuve que enfrentar al siguiente problema:
   "Una caja contiene 900 tarjetas, numeradas del 100 al 999. Se sacan al azar (sin reposición) tarjetas de la caja y se anota la suma de los dígitos de cada tarjeta extraída. ¿Cuál es la menor cantidad de tarjetas que se deben sacar, para garantizar que al menos tres de esas sumas sean iguales?"
   Requiere un poquillo de esfuerzo (pero no demasiado) darse cuenta/calcular que las sumas posibles van de 1 a 27, inclusive, aunque esas dos (1 y 27) sólo se presentan en una tarjeta cada una. Todas las demás sumas se presentan como mínimo en 3 tarjetas, así que tenemos 2 palomares con hueco para una paloma cada uno (el "palomar 1" y el "palomar 27") y 25 palomares más con hueco para tres o más palomas cada uno. Necesitaríamos 2x1 + 25x2 = 52 palomas/tarjetas para llenar todos esos palomares, cada uno con 2 palomas (salvo el 1 y 27 con una). Así que está claro que con 53 palomas seguro que 3 de ellas irán al mismo palomar, es decir, 53 tarjetitas hay que sacar. Sencillo, ¿verdad? Sin utilizar este principio, resolver este ejercicio puede resultar arduo y complicado (os lo digo yo, jeje), pero ciertamente fue el problema en el que se obtuvo mejor nota por parte de los participantes en esta olimpiada.
   
   
3. Al año siguiente, en Palma de Mallorca, volví a participar en la Olimpiada Matemática Española, teniéndome que enfrentar en esta ocasión al siguiente problema:
   "Tomemos cuatro puntos situados en el interior o el borde de un cuadrado de lado 1. Demuestra que al menos dos de ellos están a distancia menor o igual que 1."
   Un problema que casi es de perogrullo. Mentalmente todos somos capaces de situar 4 puntos en un cuadrado de lado 1, distando 1 entre ellos dos a dos (los vértices del cuadrado), y colocar un quinto punto se antoja imposible. Pero... ¿cómo demostrarlo matemáticamente?
   La única persona que lo resolvió perfectamente (curiosamente este problema fue en el que peor puntuación obtuvimos los participantes!!) utilizó con elegancia el principio del palomar: dividamos el cuadrado en 4 cuadrados de lado 1/2 cada uno. Esos son nuestros 4 palomares, y tenemos 5 puntos/palomas. En virtud del principio del palomar, al menos dos de ellos caerán dentro del mismo cuadrado de lado 1/2, y no es nada difícil demostrar que la máxima distancia que pueden tener entre sí esos dos puntos es menor que 1 (concretamente la diagonal del cuadradito, que es la mitad de la raíz cuadrada de 2, o sea, en torno a 0'707).
   

Bueno, y eso es todo, ahora ya lo sabéis: no compréis más calcetines de los que os caben en un cajón, juntad a 13 personas y seguro que dos comparten signo zodiacal y si os váis medio mes de viaje con 8 camisetas en la maleta, recordad que al menos una camiseta tendréis que usarla más de un día. ¿Perogrullo? Tal vez, pero a veces no somos capaces de verlo, como me pasó a mí en Palma de Mallorca.