El principio del palomar

Me gustaría inaugurar oficialmente el blog con este pequeño homenaje a uno de los principios matemáticos más útiles que conozco: el principio del palomar.

En su versión original, viene a decir que si tienes un número n de palomas a distribuir entre un número m de palomares, y resulta que tienes más palomas que palomares (n > m), entonces necesariamente vas a tener algún palomar con más de una paloma.

Bajo su apariencia de perogrullada, este teoremilla puede resultar muy útil en ocasiones para probar resultados a primera vista no tan triviales. Aquí van 3 ejemplillos/anécdotas:

1. Era yo muy niño cuando leí por primera vez "¿Cómo se llama este libro?", de Raymond Smullyan, un libro de "lógica informal" muy recomendable, y ya en el primer capítulo un pequeño acertijo consistía en averiguar si necesariamente tenía que haber 2 habitantes en Nueva York con el mismo número de pelos en la cabeza. No hace falta ser un loco de la geografía para saber que Nueva York tiene más habitantes (más de 8 millones) que pelos en la cabeza puede tener cada uno (unos 150.000). En virtud del principio del palomar, seguro que hay dos con el mismo número de pelos en la cabeza.
   
   
2. Era yo algo más mayor, cuando en el año 99 participé en mi primera Olimpiada Matemática Española, celebrada en Granada. En la fase nacional me tuve que enfrentar al siguiente problema:
   "Una caja contiene 900 tarjetas, numeradas del 100 al 999. Se sacan al azar (sin reposición) tarjetas de la caja y se anota la suma de los dígitos de cada tarjeta extraída. ¿Cuál es la menor cantidad de tarjetas que se deben sacar, para garantizar que al menos tres de esas sumas sean iguales?"
   Requiere un poquillo de esfuerzo (pero no demasiado) darse cuenta/calcular que las sumas posibles van de 1 a 27, inclusive, aunque esas dos (1 y 27) sólo se presentan en una tarjeta cada una. Todas las demás sumas se presentan como mínimo en 3 tarjetas, así que tenemos 2 palomares con hueco para una paloma cada uno (el "palomar 1" y el "palomar 27") y 25 palomares más con hueco para tres o más palomas cada uno. Necesitaríamos 2x1 + 25x2 = 52 palomas/tarjetas para llenar todos esos palomares, cada uno con 2 palomas (salvo el 1 y 27 con una). Así que está claro que con 53 palomas seguro que 3 de ellas irán al mismo palomar, es decir, 53 tarjetitas hay que sacar. Sencillo, ¿verdad? Sin utilizar este principio, resolver este ejercicio puede resultar arduo y complicado (os lo digo yo, jeje), pero ciertamente fue el problema en el que se obtuvo mejor nota por parte de los participantes en esta olimpiada.
   
   
3. Al año siguiente, en Palma de Mallorca, volví a participar en la Olimpiada Matemática Española, teniéndome que enfrentar en esta ocasión al siguiente problema:
   "Tomemos cuatro puntos situados en el interior o el borde de un cuadrado de lado 1. Demuestra que al menos dos de ellos están a distancia menor o igual que 1."
   Un problema que casi es de perogrullo. Mentalmente todos somos capaces de situar 4 puntos en un cuadrado de lado 1, distando 1 entre ellos dos a dos (los vértices del cuadrado), y colocar un quinto punto se antoja imposible. Pero... ¿cómo demostrarlo matemáticamente?
   La única persona que lo resolvió perfectamente (curiosamente este problema fue en el que peor puntuación obtuvimos los participantes!!) utilizó con elegancia el principio del palomar: dividamos el cuadrado en 4 cuadrados de lado 1/2 cada uno. Esos son nuestros 4 palomares, y tenemos 5 puntos/palomas. En virtud del principio del palomar, al menos dos de ellos caerán dentro del mismo cuadrado de lado 1/2, y no es nada difícil demostrar que la máxima distancia que pueden tener entre sí esos dos puntos es menor que 1 (concretamente la diagonal del cuadradito, que es la mitad de la raíz cuadrada de 2, o sea, en torno a 0'707).
   

Bueno, y eso es todo, ahora ya lo sabéis: no compréis más calcetines de los que os caben en un cajón, juntad a 13 personas y seguro que dos comparten signo zodiacal y si os váis medio mes de viaje con 8 camisetas en la maleta, recordad que al menos una camiseta tendréis que usarla más de un día. ¿Perogrullo? Tal vez, pero a veces no somos capaces de verlo, como me pasó a mí en Palma de Mallorca.