Hace unos días, hablando con un colega acerca del fractal de copo de nieve, recordé que se trata de una figura de área finita y perímetro infinito (paradójicamente), y me pregunté cuál será su área. Haciendo unos sencillos cálculos me topé con la suma infinita:
A=1+3/9+12/81+48/729+...
suponiendo que el área del triángulo original es 1. En esa serie cada término a partir del tercero es exactamente 4/9 del término anterior. En esta página podéis ver un método (de hecho el típico) para resolver la suma, pero yo aquí voy a explicar el mío, que aunque no siempre es aplicable, cuando lo es resulta bastante inmediato.
Fijémonos que cada término se puede obtener del anterior de la misma manera, excepto con el primer par, por lo que voy a separar el primer sumando.
A=1+S
donde S=3/9+12/81+48/729+... es la suma que queremos calcular. Como es una suma de infinitos términos y cada uno se obtiene del anterior podemos escribir fácilmente la suma de todos menos el primero a partir de la suma completa:
12/81+48/729+... = (4/9) x (3/9+12/81+48/729+...)
Y aquí está el truco, nos aprovechamos del infinito para establecer que S=3/9+(4/9) x S
Nos queda una sencilla ecuación de la que despejamos S=0'6, por lo que A=1'6, es decir, el área del fractal del copo de nieve es 1'6 veces la del triángulo original.
Probemos nuestro método con otra suma bien conocida:
S=1/2+1/4+1/8+1/16+...
Todos sabemos, o deberíamos saber, que esa suma da como resultado 1, cosa que se puede demostrar de muchas maneras (interesante la refutación de la paradoja de la piedra de Zenón). Nosotros vamos a usar nuestro método. Recordemos: se trata de descartar el primer sumando y escribir los demás en función de la propia suma completa. Veamos... la suma S es 1/2 más... la propia suma S dividida entre 2. Así de sencillo:
S=1/2+S/2
De ahí se deduce, evidentemente, que S=1
Un último ejemplo, para acabar. Según la Wikipedia, el número áureo se puede obtener de la siguiente fracción continua:
¿Será verdad? También aquí podemos utilizar nuestro método, pues la suma S es igual a uno más uno partido por... la propia suma:
S=1+1/S
Resolviendo la ecuación de segundo grado resultante, efectivamente obtenemos que S=(raiz(5)+1)/2, que es la definición de número áureo.
Espero que os pueda servir de algo "mi método".
A=1+3/9+12/81+48/729+...
suponiendo que el área del triángulo original es 1. En esa serie cada término a partir del tercero es exactamente 4/9 del término anterior. En esta página podéis ver un método (de hecho el típico) para resolver la suma, pero yo aquí voy a explicar el mío, que aunque no siempre es aplicable, cuando lo es resulta bastante inmediato.
Fijémonos que cada término se puede obtener del anterior de la misma manera, excepto con el primer par, por lo que voy a separar el primer sumando.
A=1+S
donde S=3/9+12/81+48/729+... es la suma que queremos calcular. Como es una suma de infinitos términos y cada uno se obtiene del anterior podemos escribir fácilmente la suma de todos menos el primero a partir de la suma completa:
12/81+48/729+... = (4/9) x (3/9+12/81+48/729+...)
Y aquí está el truco, nos aprovechamos del infinito para establecer que S=3/9+(4/9) x S
Nos queda una sencilla ecuación de la que despejamos S=0'6, por lo que A=1'6, es decir, el área del fractal del copo de nieve es 1'6 veces la del triángulo original.
Probemos nuestro método con otra suma bien conocida:
S=1/2+1/4+1/8+1/16+...
Todos sabemos, o deberíamos saber, que esa suma da como resultado 1, cosa que se puede demostrar de muchas maneras (interesante la refutación de la paradoja de la piedra de Zenón). Nosotros vamos a usar nuestro método. Recordemos: se trata de descartar el primer sumando y escribir los demás en función de la propia suma completa. Veamos... la suma S es 1/2 más... la propia suma S dividida entre 2. Así de sencillo:
S=1/2+S/2
De ahí se deduce, evidentemente, que S=1
Un último ejemplo, para acabar. Según la Wikipedia, el número áureo se puede obtener de la siguiente fracción continua:
¿Será verdad? También aquí podemos utilizar nuestro método, pues la suma S es igual a uno más uno partido por... la propia suma:S=1+1/S
Resolviendo la ecuación de segundo grado resultante, efectivamente obtenemos que S=(raiz(5)+1)/2, que es la definición de número áureo.
Espero que os pueda servir de algo "mi método".
Entradas
No hay comentarios:
Publicar un comentario